Bölüm 6 Rasch Modeli

Dr. Beyza Aksu Dünya

Davranış bilimlerinde ve eğitimde ölçmeye konu olan özellikler; yetenek, ilgi veya tutum gibi doğrudan gözlenemeyen ancak geliştirilen ölçme araçlarına verilen tepkiler yoluyla dolaylı ölçülen gizil özelliklerdir. Gizil özelliklere “okuduğunu anlama becerisi”, “eleştirel düşünme becerisi”, “hayat boyu öğrenmeye karşı tutum” örnek olarak verilebilir. Gizil özelliklerin ölçülmesinde bir ölçme aracı kullanılır ve bu ölçme araçlarının birimi olan maddelere bireyin verdiği tepkiler esas alınarak toplanan veriler sıralama ölçeği düzeyindedir. Dolayısıyla sıralama ölçeğinde olan ölçümlerden elde edilen ham puanlarla doğrudan azlık-çokluk veya fark-toplam ilişkisi kurulamaz.

Ölçme kuramlarından klasik test kuramı (KTK) çerçevesinde geliştirilen ölçme araçlarındaki maddelere bireylerin verdiği tepkilerden elde edilen madde puanlarının toplanmasıyla bireylere ilişkin toplam puanların hesaplandığı durumlar bulunmaktadır. Örneğin iki kategorili puanlanan 25 maddeden oluşan bir başarı testi düşünelim. Doğru yanıtlanan maddeler için 1 puan, yanlış yanıtlanan veya boş bırakılan maddeler için 0 puan verilerek testi alan bireylerin toplam puanları hesaplandığında Ada, Yağız ve Ozan bu testten sırasıyla 10, 15 ve 20 puan almış olsun. Ada ile Yağız arasındaki başarı farkını (5 puan), Yağız ile Ozan arasındaki başarı farkına (5 puan) eşit kabul edersek, başarı testindeki tüm maddelerin eşit güçlükte olduğunu kabul etmiş oluruz. Halbuki testte yer alan tüm maddelerin eşit güçlük düzeyinde olması beklenemez. Ozan testte yer alan en zor zor maddelerden bazılarını doğru yanıtladığı halde Ada ve Yağız testteki en zor maddeleri yanlış yanıtladılarsa Ada ile Yağız arasındaki başarı farkının, Yağız ile Ozan arasındaki başarı farkına eşit olduğunu varsayılabilir miyiz?

Bilişsel özelliklerin ölçülmesinde kullanılan başarı testlerinden elde edilen toplam puanlar üzerinden yapılan yorumlamalardaki yanılsamalar, duyuşsal özelliklerin ölçülmesinde kullanılan ölçeklerden elde edilen puanlar için de söz konusu olabilir. Örneğin 4’lü Likert ölçeğinde puanlanan bir tutum ölçeği düşünelim. Maddelere verilen “Kesinlikle katılıyorum” yanıtı için 4 puan, “Katılıyorum” yanıtı için 3 puan, “Katılmıyorum” yanıtı için 2 puan, “Kesinlikle katılmıyorum” yanıtı için 1 puan verilerek hesaplanan toplam puanlar üzerinden yorum yaptığımızda, puan kategorileri arasındaki uzaklığı eşit kabul etmiş oluruz. Halbuki sahip olunan tutum açısından düşünüldüğünde, (4) kesinlikle katılmak ile (3) katılmak arasındaki uzaklık, (3) katılmak ile (2) katılmamak arasındaki uzaklığa eşit olmayabilir. Ölçek verisi üzerinden yapılabilecek yorum, bir maddeye katılıyorum şeklinde yanıt veren bir bireyin, katılmıyorum şeklinde yanıt veren bir bireye göre daha yüksek düzeyde tutuma sahip olmasıdır. Sıralama ölçeğindeki puan kategorileri arasındaki farkın eşit kabul edilerek toplam puanlar üzerinden yorum yapılması KTK çerçevesinde geliştiren ölçme araçlarının sınırlılıklarından biridir.

KTK çerçevesinde geliştirilen ölçme araçlarıyla ölçülen özelliklerin toplam puanlara dayalı yorumlanması sınırlılığına karşın örtük özellik modelleri geliştirilmiştir. Madde tepki kuramı (MTK), KTK’nın sınırlılıklarını ortadan kaldıran bir örtük özellik kuramıdır. Örneğin KTK’ya göre bir bireyin bir testten alacağı toplam puan, yanıtlanan maddelerin güçlüğüne bağlıdır. Bir başarı testinde, bir bireyin daha zor maddelerden oluşan bir testten alacağı puan daha kolay maddelerden oluşan bir testten alacağı puandan daha düşük olacaktır. Buna karşın MTK’ya dayalı modellerde bireyin herhangi bir güçlükte bir test maddesine yanıt vermesi sonucu elde edilecek çıktının ne olacağı (örneğin doğru ya da yanlış yanıt), yanıt verilen madde grubunun güçlüğünden bağımsız olarak olasılığa dayalı olarak hesaplanmaktadır.

MTK modellerinde ölçülen özellik (genellikle yetenek olarak ifade edilir) \(\theta\) ile gösterilir. \(\theta\) düzeyinde ölçülen özelliğe sahip bir bireyin, iki kategorili yanıtlanabilen belirli bir maddeyi doğru yanıtlama olasılığı ise \(P(\theta)\) ile ifade edilir. Bir madde için \(\theta\) ile \(P(\theta)\) arasındaki ilişki ise madde karakteristik eğrisi (MKE) ile gösterilir. Bir ölçme aracındaki her madde için ayrı bir MKE bulunur. MKE’nin elde edilmesinde kullanılan çeşitli MTK modelleri vardır. Bu modellerde, bireyin kestirilen \(\theta\) değeri ile \(P(\theta)\) arasındaki ilişki matematiksel bir eşitlikle ifade edilir. Kullanılan MTK modeline göre her eşitlikte maddeye ilişkin bir ya da birden fazla parametre yer alır. Rasch modeli; anlaşılması, varsayımlarının sağlanması ve yorumlanması bakımından en pratik MTK modeli olup davranış bilimleri ve eğitimin yanı sıra tıp, biyo-istatistik gibi alanlarda da kullanılmaktadır.

Bu bölüm, Rasch modelinin kuramsal altyapısını anlamak ve R programını kullanarak bu modellerle analiz yapmak isteyen araştırmacılar için hazırlanmıştır. İlk kısımda, Rasch modelinin temelleri üzerine teorik bilgiler, ikinci kısımda ise sık kullanılan Rasch modelleriyle R programı kullanılarak yapılan uygulamalar yer almaktadır. Uygulama kısmında R programında yer alan TAM - Test Analysis Modules paketi (Robitzsch, Kiefer ve Wu, 2021) kullanılarak analizler gerçekleştirilmiş ve analize dair önemli çıktılar yorumlanmıştır.

6.1 Rasch Ölçme Kuramı’na Genel Bir Bakış

Örtük özellikler kuramının ilki, Danimarkalı matematikçi George Rasch tarafından, Danimarka Savunma Biriminin talebi üzerine, zekâ testlerinin standardize edilebilmesi amacıyla geliştirilmiştir. Rasch modeli, modelin ilk temel eseri olan “Probabilistic Models for Some Intelligence and Attaintment Tests” ile tanıtılmıştır (Rasch, 1960). Geliştirilen bu ilk model, yalnızca iki kategorili puanlanan (örneğin Doğru-Yanlış) yanıt verisine veya Poisson sayı modeline uyan verilerle çalışabiliyor olup, birey ile madde arasındaki ilişki bireyin yeteneği ve madde güçlüğüne dayalı bir matematiksel eşitlikle açıklanmıştır. Rasch modeli ailesine ilerleyen yıllarda sıralama düzeyindeki verilere uygun modeller eklenerek (Andrich, 1978; B. D. Wright, 1982) model genişletilmiştir.

Rasch modeli kullanan araştırmacılar, diğer MTK modellerinden farklı olarak, verinin belirlenen modelle sağladığı uyumu değerlendirip verinin karakteristiğine en uygun modeli belirlemeye çalışmazlar. Bunun yerine verinin, model varsayımlarından saptığı noktaları bir veri kaynağı olarak kullanırlar (Embretson ve Reise, 2000). Örneğin çoktan seçmeli test maddelerinden oluşan bir testin güvenirliğini belirlemek üzere araştırmacılar, şans başarısı faktörünün de dikkate alındığı üç parametreli lojistik (3PL) MTK modelini (Birnbaum, 1969) seçebilir. Rasch modelini benimsemiş araştırmacılar ise potansiyel bir şans başarısının etkisini, eldeki verinin modelden sapması üzerinden, yani beklenmedik yanıtlar (unexpected responses) üzerinden tespit etmeye çalışır. Özetle, Rasch ölçme kuramı ile MTK bakış açısının arasındaki en temel ayrım, modelin veriye uyumu (MTK perspektifi) ile verinin modele uyumu (Rasch perspektifi) arasındaki tercihtir. Veri-model uyumundaki yaklaşım farklığına rağmen, MTK’ya dayalı diğer modeller gibi Rasch modelinin de KTK’ya göre en önemli avantajlarından biri ölçme değişmezliğidir. Bireylerin maddelere verdikleri tepkilerden oluşan yanıt verisinde aşağıdaki varsayımlar sağlandığında ölçme değişmezliğinden söz edilebilir.

6.2 Rasch Modelinin Varsayımları

Rasch modeli ailesinde yer alan bir modeli kullanmadan önce verilerde aşağıda açıklanan iki varsayımın sağlanıp sağlanmadığı kontrol edilmelidir.

Tek boyutluluk: Tek boyutluluk, ölçme aracının baskın olarak tek bir örtük özelliği ölçmesini ifade eder. Diğer bir ifadeyle ölçme aracındaki maddeler ağırlıklı olarak “tek bir” örtük özelliği ölçmeli ve gözlenen tepkiler bu örtük özellikten kaynaklı elde edilmiş olmalıdır (Linacre, 2006). Tek boyutluluğun sağlanmadığı durumlarda, çok boyutlu Rasch modelleri kullanılabilir (Detaylı bilgiye Adams, Wilson ve Wang (1997)’dan ulaşılabilir).

Yerel bağımsızlık: Yerel bağımsızlığın sağlandığı durumda, bireyin bir maddeyi doğru yanıtlama olasılığı, ölçme aracında yer alan başka bir maddeye verdiği yanıttan etkilenmez. Diğer bir ifadeyle maddelere verilen yanıtlar birbirinden bağımsızdır.

Bu iki varsayım analiz çıktıları arasında yer alan uyum istatistikleri aracılığıyla kontrol edilebilir. Uyum istatistiklerine göre beklenen veri-model uyumu sağlanırsa kullanılan Rasch modelinin şu avantajları söz konusu olacaktır (Linacre, 2006):

Birey ve maddeye dair tüm parametre kestirimleri, eşit aralıklı ölçek düzeyinde ortak bir metrikte raporlanır. Bu ortak metrik, birey ve maddeye ilişkin parametre kestirimlerini aynı ölçek üzerinde görme ve doğrudan karşılaştırma imkânı vermektedir. Örneğin “testin veya maddenin güçlüğü, bireyin yeteneğine uygun mudur?” sorusuna yanıt bulunabilmektedir.
Parametre kestirimleri, teste yanıt veren bireyler ve testteki maddelerden bağımsız elde edilir. Diğer bir ifadeyle parametre kestirimi testin güçlüğünden ve örneklemin örtük özellik bakımından dağılımından bağımsızdır. Bu da kayıp verilerin, Rasch modeli kullanılarak yapılan parametre kestirimlerinde problem teşkil etmemesi anlamına gelmektedir.
Rasch modelin matematiksel eşitliği doğrultusunda her bireye ilişkin bir yetenek kestirimi yapılır. Bireye ilişkin elde edilen bu kestirim ile ham puanlar karşılaştırılarak madde veya yanıtlayıcıdan dolayı ortaya çıkan çeşitli hata kaynakları yani beklenmeyen varyans kaynakları tespit edilebilir (örneğin dikkatsiz yanıtlama, rastgele yanıtlama davranışı veya kopya çekme).

Rasch modeline göre yukarıdaki varsayımlar gözetilerek ölçme değişmezliği sağlanırsa ölçme sonuçlarından anlamlı çıkarımlar yapmak mümkündür (specific objectivity; Rasch (1977)).

Takip eden kısımlarda, ikili puanlama modeli (*dichotomous model*), dereceleme ölçeği modeli (*rating scale model*) ve kısmi puan modeli (*partial credit model*) hakkında kavramsal olarak temel bir sunum yapıldıktan sonra bu modeller için R programı kullanılarak analizler gerçekleştirilmiştir. Aşağıdaki tabloda her model için kullanılan veri setleri, kestirim yöntemleri ve R paketleri sıralanmıştır:

Tablo 6.1: Bölümde Kullanılan Veri Setleri ve Faydalanılan R paketleri
Rasch Modeli	Veri Seti	Parametre Kestirim Yöntemi	R Paketi
İkili Puanlama Modeli	Mathematic Assessment Data (500 öğrenci ve 35 iki kategorili puanlanan madde içerir)	Birleşik En Yüksek Olabilirlik Yöntemi (JMLE) (B. Wright ve Panchapakesan, 1969)	TAM (Test Analysis Modules) (Robitzsch ve diğerleri, 2021)
Dereceleme Ölçeği Modeli	Liking For Science- Bilim Sevgisi Ölçeği Verisi (B. D. Wright, 1982) (75 öğrenci ve 25 madde içerir)	JMLE	TAM
Kısmı Puan Modeli	Liking For Science- Bilim Sevgisi Ölçeği Verisi	JMLE	TAM

Analizlerde TAM paketinin tam.jml() gibi fonksiyonları kullanılarak parametre kestiriminin JMLE yöntemiyle gerçekleştirilmesi sağlanmıştır. Bunun nedeni Rasch modeliyle parametre kestiriminde yaygın olarak kullanılan “Facets” ve “Winsteps” gibi hazır paket programlarının da JMLE kullanmasıdır. Böylece farklı programlardan elde edilen kestirimler karşılaştırılabilir.

6.3 Rasch İkili Puanlama Modeli (Rasch Dichtomous Model)

İkili puanlama modeli (Rasch, 1960), iki kategorili puanlanan (genellikle 1 ve 0 şeklinde) veri setleri için kullanılan, Rasch modeli ailesine dahil modeller içindeki en basit modeldir (B. D. Wright ve Mok, 2004). Bu modelde, maddelere verilen yanıtlardan elde edilen sıralama ölçeği düzeyindeki toplam puanlar, lojistik bir dönüşümle, eşit aralıklı ölçek düzeyinde tanımlanan birey ve madde parametre kestirimlerine dönüştürülür. Bu kestirimler aynı lojit ölçeği üzerinde konumlandırıldığı için doğrudan karşılaştırılabilir ve parametre kestirimleri arasındaki fark, maddeye verilecek doğru yanıt olasılığının hesaplanmasında kullanılır.

En temel ve ilk geliştirilen Rasch modeli olan ikili puanlama modelinin matematiksel gösterimi iki parametreye dayanır. Model eşitliği Eşitlik (6.1)’de verilmiştir.

\[ \ln\left(\frac{\phi_{ni1}}{\phi_{ni0}}\right)=\theta_n-\delta_i \tag{6.1} \]

Eşitlikte; yetenek düzeyi \(\theta_n\) ile gösterilen n. birey, güçlük düzeyi \(\delta_i\) ile gösterilen i. maddeye yanıt verdiğinde, yetenek ile güçlük ölçümü arasındaki fark, bireyin maddeye doğru yanıt verme olasılığının (\(\phi_{ni1}\)), yanlış yanıt verme olasılığına (\(1-\phi_{ni1}\)) oranının, doğal logaritmik dönüşümüne eşittir. Eşitlikte görüldüğü üzere, n. bireyin yetenek düzeyi, i. maddenin güçlük düzeyinin ne kadar üzerine çıkarsa, bireyin maddeye doğru yanıt verme olasılığı da 1’e o derece yaklaşır. Eşitlikteki n. birey, i. maddeyi yanıtladığında iki olasılık vardır: 0 (yanlış yanıt) ya da 1 (doğru yanıt).

Bireye ilişkin beklenen değer \(P_{ni}\), gözlenen değer ise \(x_{ni}\) olsun. Beklenen değer ile gözlenen değer arasındaki fark, yani artık, \(y_{ni}=x_{ni}-P_{ni}\) olarak ifade edilir. Eşitlik (6.2)’deki gibi, bu değer beklenen model standart sapmasına bölündüğünde standartlaştırılmış artık değer elde edilir.

\[ z_{ni}=\frac{(x_{ni}-P_{ni})}{\sqrt{P_{ni}(1-P_{ni})}} \tag{6.2} \]

Standartlaştırılmış artık, veri ile model uyumunun bir göstergesidir. Sıfırdan büyük artık değer, gözlenen puanın beklenenden büyük olduğunu; sıfırdan küçük artık değer ise gözlenen puanın beklenenden küçük olduğunu belirtir. Mutlak değer olarak 2’den büyük artık değerler ise model veri uyumunun sağlanmadığına işaret eder. Standartlaştırılmış artıkların karelerinin toplamı ile ölçme sistemindeki her bir madde ve birey için ağırlıklandırılmış uyum içi (infit) ve ağırlıklandırılmamış uyum dışı (outfit) uyum istatistikleri hesaplanır. Uyum dışı (outfıt mean square) istatistiği, uyum istatistiğinin ağırlıklandırılmamış halidir. Bu istatistik verideki beklenmeyen uç değerlere duyarlıdır.

Aşağıda R programı üzerinde, Rasch ikili puanlama modeli için örnek bir analiz gerçekleştirilmiştir, uyum istatistikleri yorumlanarak madde ve birey yüzeyinde veri-model uyumu incelenmiştir.

6.3.1 JMLE Kestirim Yöntemiyle Rasch İkili Puanlama Modeli Analizi

R programında ikili puanlama modeline ilişkin analizleri yapmak için kullanılabilecek paketlerden biri eRm - extended Rasch modeling paketidir (Mair, Hatzinger, Maier, Rusch ve Mair, 2016). Ancak eRm paketindeki fonksiyonlarda, parametre kestirimleri “Koşullu En Yüksek Olabilirlik (Conditional Maximum Likelihood Estimation-CMLE)” yöntemiyle hesaplanmaktadır. CMLE yöntemiyle elde edilen parametre kestirimleri, diğer yöntemlerle elde edilen parametre kestirimleriyle doğrudan karşılaştırılamaz. Ayrıca CMLE yöntemi kayıp veriye ve uç değerlere karşı dayanıklı (robust) değildir. Bu nedenle Rasch ikili puanlama modeline ilişkin analizlerde Joint Maximum Likelihood Estimation - JMLE kestirim yönteminin uygulandığı TAM paketi kullanılmıştır. TAM paketiyle JMLE kullanılarak elde edilen parametre kestirimleri, “Winsteps” ve “Facets” gibi yaygın olarak kullanılan Rasch analizi programlarıyla doğrudan karşılaştırılabildiği için avantajlıdır.

Paket fonksiyonlarının Rasch ikili puanlama modeli analizinde kullanımı mathachieve.csv veri dosyası üzerinde gösterilmiştir. Veri seti 500 bireyin her biri iki kategorili puanlanan 35 maddeye verdiği yanıtlardan oluşmaktadır. read.csv() fonksiyonu kullanılarak veri seti matematiktesti nesnesine aktarılmıştır. Oluşturulan nesne summary() fonksiyonu kullanılarak betimsel istatistikler yardımıyla incelenmiştir ve işlemin doğru yürüyüp yürümediği kontrol edilmiştir. Çıktıda ilk beş maddeye ilişkin betimsel istatistiklere yer verilmiştir.

matematiktesti <- read.csv("import/mathachieve.csv")
summary(matematiktesti[,2:6])
#>      item_1          item_2          item_3         item_4         item_5     
#>  Min.   :0.000   Min.   :0.000   Min.   :0.00   Min.   :0.00   Min.   :0.000  
#>  1st Qu.:1.000   1st Qu.:0.000   1st Qu.:0.00   1st Qu.:0.00   1st Qu.:0.000  
#>  Median :1.000   Median :1.000   Median :1.00   Median :1.00   Median :1.000  
#>  Mean   :0.756   Mean   :0.666   Mean   :0.54   Mean   :0.66   Mean   :0.552  
#>  3rd Qu.:1.000   3rd Qu.:1.000   3rd Qu.:1.00   3rd Qu.:1.00   3rd Qu.:1.000  
#>  Max.   :1.000   Max.   :1.000   Max.   :1.00   Max.   :1.00   Max.   :1.000

Birey ve maddeler için elde edilen betimsel istatistikler incelendiğinde, 500 bireylik bir veri setinin okunduğu, maddelerin 1 ve 0 şeklinde puanlandığı görülmektedir. Ayrıca her bir madde için madde puanlarının ortalaması (mean) KTK uyarınca madde güçlükleri (maddeyi doğru yanıtlayanların tüm yanıtlayanlara oranı) hakkında fikir vermektedir.

Veri setinin ilk sütunu (“ids” sütunu) öğrenci id numaralarını içermekte olup analizler gerçekleştirilmeden önce bu ilk sütun veri setinden ayrılmalıdır. Bunun için subset() fonksiyonu ve fonksiyonun select argümanı kullanılarak öğrenci id numaralarının kaydedildiği sütun veriden çıkarılmıştır. Böylece bireylerin madde yanıtlarını içeren matematiktesti.yanitlar nesnesi oluşturulmuştur. Oluşturulan nesnenin analize hazır olduğundan emin olmak için summary() fonksiyonuyla betimsel istatistikler elde edilmiştir.

matematiktesti.yanitlar <- subset(matematiktesti, select = -c(ids))
summary(matematiktesti.yanitlar)

Rasch ikili puanlama modeli analizi TAM paketindeki tam.jml() fonksiyonu kullanılarak yapılmıştır. Rasch ikili puanlama modeli analizinin yapılabilmesi için önce TAM paketi yüklenip aktif hale getirilmiştir.

install.packages("TAM")
library(TAM)

Sonra madde ve birey parametre kestirimlerinin aynı ölçek üzerinde görsel olarak gösterildiği Wright Map-lojit haritasının üretilmesi için de WrightMap paketi (Irribarra, Freund ve Irribarra, 2024) yüklenip aktif hale getirilmiştir.

install.packages("WrightMap")
library(WrightMap)

Paketler aktif hale getirildikten sonra tam.jml() fonksiyonu aşağıdaki örnek komut satırıyla çalıştırılarak JMLE kestirim yöntemiyle Rasch ikili puanlama modeli analizi gerçekleştirilmiştir. tam.jml() fonksiyonunun ilk argümanı için analiz edilecek matematiktesti.yanitlar veri seti girilmiştir. Fonksiyonun constraint argümanı items değeriyle kullanılarak merkezi sıfır lojit olan madde parametre kestirimleri elde edilmiştir. Böylece parametre kestirimlerinin yorumu kolaylaşmaktadır. Analiz çıktıları dichotomous.matematik nesnesine atanmıştır.

dichotomous.matematik <- TAM::tam.jml(matematiktesti.yanitlar, 
                                      constraint = "items")

tam.jml() fonksiyonunun çalıştırılması sonucunda oluşturulan dichotomous.matematik nesnesi 37 bileşeni bulunan bir listedir. Bu nesnenin madde parametre kestirimlerini içeren item bileşeni aşağıdaki komut satırıyla seçilmiştir. Çıktıda değerler binde birler basamağına yuvarlanarak sunulmuştur.

print.data.frame(dichotomous.matematik$item, row.names = FALSE, digits = 3) 
#>     item   N     M xsi.item AXsi_.Cat1 B.Cat1.Dim1
#>   item_1 500 0.756   -0.689     -0.689           1
#>   item_2 500 0.666   -0.179     -0.179           1
#>   item_3 500 0.540    0.444      0.444           1
#>   item_4 500 0.660   -0.148     -0.148           1
#>   item_5 500 0.552    0.386      0.386           1
#>   item_6 500 0.496    0.652      0.652           1
#>   item_7 500 0.434    0.948      0.948           1
#>   item_8 500 0.694   -0.329     -0.329           1
#>   item_9 500 0.602    0.145      0.145           1
#>  item_10 500 0.688   -0.297     -0.297           1
#>  item_11 500 0.736   -0.568     -0.568           1
#>  item_12 500 0.800   -0.981     -0.981           1
#>  item_13 500 0.594    0.184      0.184           1
#>  item_14 500 0.502    0.624      0.624           1
#>  item_15 500 0.482    0.718      0.718           1
#>  item_16 500 0.774   -0.804     -0.804           1
#>  item_17 500 0.708   -0.406     -0.406           1
#>  item_18 500 0.762   -0.727     -0.727           1
#>  item_19 500 0.668   -0.190     -0.190           1
#>  item_20 500 0.558    0.358      0.358           1
#>  item_21 500 0.494    0.661      0.661           1
#>  item_22 500 0.742   -0.603     -0.603           1
#>  item_23 500 0.898   -1.865     -1.865           1
#>  item_24 500 0.484    0.709      0.709           1
#>  item_25 500 0.502    0.624      0.624           1
#>  item_26 500 0.710   -0.417     -0.417           1
#>  item_27 500 0.750   -0.652     -0.652           1
#>  item_28 500 0.650   -0.096     -0.096           1
#>  item_29 500 0.604    0.135      0.135           1
#>  item_30 500 0.488    0.690      0.690           1
#>  item_31 500 0.408    1.074      1.074           1
#>  item_32 500 0.710   -0.417     -0.417           1
#>  item_33 500 0.544    0.424      0.424           1
#>  item_34 500 0.426    0.986      0.986           1
#>  item_35 500 0.706   -0.394     -0.394           1

Elde edilen çıktıda 35 maddeye ilişkin madde parametre kestirimleri görülmektedir. “AXsi_.Cat1” sütunundaki değerler madde güçlük parametre kestirimleridir. “B.Cat1.Dim1” sütunundaki değerler madde ayırt edicilik parametre kestirimleridir. Rasch modeli kullanıldığı için ayırt edicilik parametre kestirimlerinin tümü 1’e eşittir.

Görsel olarak analiz bulgularına hızlı bir göz atabilmek için wrightMap() fonksiyonu kullanılabilir. Aşağıdaki kodda öncelikle dichotomous.matematik nesnesinden madde güçlük parametre kestirimleri seçilerek difficulty adı verilen vektöre, birey yetenek parametre kestirimleri seçilerek theta adı verilen vektöre kaydedilmiştir. Sonra wrightMap() fonksiyonunda thetas argümanının değeri olarak theta vektörü, thresholds argümanının değeri olarak difficulty vektörü kullanılmıştır.

library(WrightMap)
difficulty <- dichotomous.matematik$item$xsi.item
theta <- dichotomous.matematik$theta
wrightMap(thetas = theta, thresholds = difficulty, return.thresholds = FALSE,
          show.thr.lab = FALSE, main.title = "Matematik Testi Wright Map: JMLE")

Elde edilen grafikte kare sembollerinin her biri bir maddeye karşılık gelen lojitleri temsil etmektedir. Bireylerin yetenek dağılımı ise histogram olarak gösterilmiştir. Grafiğe göre yüksek uç değerlere sahip bireyler (örneğin yetenek kestirimi 2 lojit ve üzerindeki bireyler) için testte uygun güçlükte maddenin bulunmadığı söylenebilir.

JMLE yönteminde, madde ve yetenek parametreleri eşzamanlı kestirilir (Hambleton, 1991). Yöntemin adı da bu nedenle birleşik (joint) ifadesiyle başlar. Bir önceki adımda difficulty ve theta adlı vektörlere kaydedilen sırasıyla madde ve birey parametre kestirimlerine ilişkin standart hatalar aşağıdaki komut satırlarıyla elde edilmiştir. dichotomous.matematik nesnesinin errorP bileşeni şeçilerek madde güçlük parametre kestirimlerine ilişkin hatalar jmle.madde.sh adı verilen bir vektöre atanmıştır. Çıktıda ilk beş maddenin güçlük parametre kestirimlerine ilişkin standart hatalara yer verilmiş olup değerler binde birler basamağına yuvarlanarak sunulmuştur. dichotomous.matematik nesnesinin errorWL bileşeni şeçilerek birey yetenek parametre kestirimlerine ilişkin hatalar jmle.birey.sh adı verilen bir vektöre atanmıştır. Çıktıda ilk beş bireyin yetenek parametre kestirimlerine ilişkin standart hatalara yer verilmiş olup değerler binde birler basamağına yuvarlanarak sunulmuştur.

jmle.madde.sh <- dichotomous.matematik$errorP
round(jmle.madde.sh[1:5], 3)
#> [1] 0.078 0.075 0.073 0.074 0.073
jmle.birey.sh <- dichotomous.matematik$errorWLE
round(jmle.birey.sh[1:5], 3)
#>     1     2     3     4     5 
#> 0.390 0.412 0.430 0.401 0.523

TAM paketindeki tam.jml.fit() fonksiyonuyla madde ve birey yüzeylerine ilişkin uyum istatistikleri hesaplanabilir. Rasch ikili puanlama modeline ilişkin uyum istatistikleri aşağıdaki komut satırları çalıştırılarak elde edilmiştir. Fonksiyonun çıktıları jmle.uyum nesnesine atanmıştır.

jmle.uyum <- TAM::tam.jml.fit(dichotomous.matematik)

jmle.uyum nesnesi üç bileşeni bulunan bir listedir. Bu nesnenin maddelere ilişkin uyum istatistiklerini içeren fit.item bileşeni seçilerek jmle.madde.uyum adı verilen veri çerçevesine kaydedilmiştir. Çıktıda ilk beş maddeye ilişkin uyum istatistiklerine yer verilmiş olup değerler binde birler basamağına yuvarlanarak sunulmuştur.

jmle.madde.uyum <- jmle.uyum$fit.item
print.data.frame(jmle.madde.uyum[1:5,], row.names = FALSE, digits = 3)
#>    item outfitItem outfitItem_t infitItem infitItem_t
#>  item_1      1.037       0.3689     1.035       0.623
#>  item_2      0.979      -0.2276     1.005       0.136
#>  item_3      0.947      -0.8528     0.981      -0.518
#>  item_4      1.014       0.1998     1.025       0.598
#>  item_5      1.003       0.0729     0.986      -0.370

Elde edilen çıktıda maddeler için standart uyum istatistikleri, infitItem_t ve outfitItem_t değerleri de görülmektedir. Bu standart değerler, veri modele uyum sağladığı zaman ortalaması 0 ve standart sapması 1 olan t istatistiğine yaklaşmaktadır. 0’ın altında outfitItem_t değerleri, yanıtların model tarafından beklenenden daha düşük varyansa sahip olduğuna işaret etmektedir. Standart uyum istatistiği için +2 den büyük değerler uyumsuzluk (beklenmeyen-misfit), -2’den küçük değerler aşırı uyum (fazlasıyla beklenen- overfit) anlamına gelmektedir.

Uyum istatistiklerine ilişkin özet bilgileri elde etmek için aşağıdaki komut satırı çalıştırılmıştır.

summary(jmle.madde.uyum)
#>      item             outfitItem      outfitItem_t       infitItem     
#>  Length:35          Min.   :0.7424   Min.   :-1.7173   Min.   :0.9055  
#>  Class :character   1st Qu.:0.9374   1st Qu.:-0.6549   1st Qu.:0.9776  
#>  Mode  :character   Median :0.9718   Median :-0.3368   Median :0.9892  
#>                     Mean   :0.9760   Mean   :-0.1940   Mean   :0.9957  
#>                     3rd Qu.:1.0258   3rd Qu.: 0.3997   3rd Qu.:1.0199  
#>                     Max.   :1.1258   Max.   : 1.9648   Max.   :1.0728  
#>   infitItem_t      
#>  Min.   :-1.70282  
#>  1st Qu.:-0.53129  
#>  Median :-0.23132  
#>  Mean   :-0.04288  
#>  3rd Qu.: 0.50713  
#>  Max.   : 1.93932

Elde edilen çıktıda uyum istatistiklerine ilişkin en düşük ve en yüksek değerler beklenen aralıkta olduğundan, herhangi bir maddenin anlamlı düzeyde bir uyumsuzluk göstermediği anlaşılmaktadır. Diğer bir ifadeyle maddeler arasında Rasch ikili puanlama modeline göre beklenenden daha kolay ya da daha zor madde bulunmamaktadır.

jmle.uyum nesnenin bireylere ilişkin uyum istatistiklerini içeren fit.person bileşeni seçilerek jmle.birey.uyum adı verilen veri çerçevesine kaydedilmiştir. Çıktıda ilk beş bireye ilişkin uyum istatistiklerine yer verilmiş olup değerler binde birler basamağına yuvarlanarak sunulmuştur. summary() fonksiyonuyla uyum istatistiklerinin ortalama, minimum ve maksimum vb. değerleri elde edilmiştir.

jmle.birey.uyum <- jmle.uyum$fit.person
print.data.frame(jmle.birey.uyum[1:5,], row.names = FALSE, digits = 3)
#>  outfitPerson outfitPerson_t infitPerson infitPerson_t
#>         0.758        -1.0989       0.816      -1.05466
#>         1.027         0.1876       1.070       0.38929
#>         0.945        -0.0525       1.031       0.20486
#>         1.044         0.2549       0.990       0.01685
#>         0.827        -0.1757       0.952       0.00872
summary(jmle.birey.uyum)
#>   outfitPerson      outfitPerson_t       infitPerson      infitPerson_t     
#>  Min.   :0.008579   Min.   :-2.673055   Min.   :0.01154   Min.   :-2.95891  
#>  1st Qu.:0.877329   1st Qu.:-0.444456   1st Qu.:0.93708   1st Qu.:-0.31236  
#>  Median :0.972533   Median :-0.023169   Median :1.00085   Median : 0.09575  
#>  Mean   :0.975986   Mean   :-0.002302   Mean   :0.99653   Mean   : 0.02248  
#>  3rd Qu.:1.074940   3rd Qu.: 0.430048   3rd Qu.:1.05590   3rd Qu.: 0.39013  
#>  Max.   :1.647034   Max.   : 2.826521   Max.   :1.26573   Max.   : 2.43885

Elde edilen çıktıda uyum istatistiklerine ilişkint en yüksek ve en düşük değerlere göre birey yüzeyinde de anlamlı düzeyde uyumsuzluk gösteren birey saptanmamıştır. Diğer bir ifadeyle Rasch ikili puanlama modeline göre kestirilen birey yetenek düzeyleri esas alındığında, yeteneğinin üzerinde zor bir maddeyi doğru yanıtlayan ya da yeteneğinin altında kolay bir maddeyi yanlış yanıtlayan birey gözlenmemiştir.

6.4 Rasch Dereceleme Ölçeği Modeli (Rating Scale Model)

Rasch Dereceleme Ölçeği Modeli (DÖM) (Andrich, 1978), iki kategori üzerinde yanıt olasılığı olan ölçme durumlarında (örneğin tutum ölçekleriyle gerçekleştirilen ölçmelerde), sıralama ölçeği düzeyinde ham puanların logaritmik dönüşümle eşit aralıklı lojit ölçeğe dönüştürülmesinde kullanılan bir modeldir.

DÖM’de, ölçek üzerinde k-1 kategorisinden k kategorisine geçişin güçlük düzeyini ifade eden, eşik (threshold) parametresi de kestirilir (Linacre ve diğerleri, 2002). DÖM’de, ölçekteki tüm maddeler için eşik parametresi eşit kabul edilir. Bu parametrenin, toplam k sayıda kategoriden oluşan bir madde için F_k ile ifade edildiğini varsayalım. Modelin matematiksel gösteriminde, ardışık iki yanıt kategorisinin birinden diğerine geçiş olasılığı (log-odds), birey parametre kestirimi, madde parametre kestirimi ve ilgili kategorinin eşik parametre kestirimi cinsinden Eşitlik (6.3)’teki gibidir.

\[ \log\left(\frac{P_{nik}}{1-P_{ni(k-1)}}\right)=\theta_n-D_i-F_k \tag{6.3} \]

Eşitlikte; \(\theta_n\), n bireyine ilişkin yetenek parametresi kestirimi; \(D_i\), i maddesine ilişkin madde parametresi kestirimi; \(F_k\), k kategorisine ilişkin eşik parametresi kestirimidir. \(K\) sayıda yanıt kategorisi olan bir madde için \((k-1)\) sayıda eşik parametresi bulunur. Değeri ölçekteki her madde için eşit kabul edilen \((k-1)\) sayıda eşik parametresi kestirilir. Dolayısıyla, DÖM’ün kullanılması için ön şart, ölçekteki tüm maddelerin eşit sayıda ve aynı anlama gelen kategorilerden oluşmasıdır. Örneğin maddeleri dört yanıt kategorisinden oluşan bir tutum ölçeği düşünelim. Bu ölçekte \(0\), “Kesinlikle katılmıyorum”; \(1\), “Katılmıyorum”; \(2\), “Katılıyorum”; \(3\), “Kesinlikle katılıyorum” olarak etiketlendirilmiş olsun. DÖM’e göre bu kategorilerin anlamları ölçekteki her madde için aynıdır. Ayrıca her madde için \(0\)’dan \(1\)’e geçiş için gereken tutum miktarının birbirine eşit olduğu kabul edilir.

DÖM’de, Rasch ikili puanlama modeliyle aynı varsayımların sağlanması, parametre kestirimlerinin anlamlı yorumlanabilirliği için gereklidir. Karşılanması gereken varsayımlar, ikili puanlama modelinde olduğu gibi tek boyutluluk, yerel bağımsızlık ve ölçme değişmezliğidir. Varsayımlar, model-veri uyumuna dayalı uyum indeksleri kullanılarak kontrol edilebilir. İlerleyen kısımda bu indekslerin elde edilmesi için gereken kodlar ve indekslerin yorumlanması paylaşılmıştır.

6.4.1 JMLE Kestirim Yöntemiyle Dereceleme Ölçeği Modeli Analizi

DÖM’ye ilişkin analizlerde JMLE kestirim yönteminin uygulandığı TAM paketi kullanılmıştır. Paket fonksiyonlarının DÖM analizinde kullanımı liking_for_science.csv veri dosyası üzerinde gösterilmiştir. Veri seti 75 bireyin her biri üç kategorili puanlanan 25 maddeye verdiği yanıtlardan oluşmaktadır. “Liking for Science-Bilim Sevgisi” tutum ölçeğinden elde edilen . yanıtlara ilişkin kategoriler; “Hoşlanmıyorum” (0), “İlgisizim” (1) ve “Hoşlanıyorum” (2) olarak sıralanmış ve adlandırılmıştır. Yanıt kategorileri boyunca ilerledikçe bireyin daha olumlu bir fen tutumuna sahip olması beklenmektedir.

read.csv() fonksiyonu kullanılarak veri seti fenilgii nesnesine aktarılmıştır. Oluşturulan nesne summary() fonksiyonu kullanılarak betimsel istatistikler yardımıyla incelenmiştir ve işlemin doğru yürüyüp yürümediği kontrol edilmiştir.

fenilgi <- read.csv("import/liking_for_science.csv")
summary(fenilgi)
#>     student           i1              i2              i3       
#>  Min.   : 1.0   Min.   :0.000   Min.   :0.000   Min.   :0.000  
#>  1st Qu.:19.5   1st Qu.:1.000   1st Qu.:1.000   1st Qu.:1.000  
#>  Median :38.0   Median :1.000   Median :2.000   Median :1.000  
#>  Mean   :38.0   Mean   :1.453   Mean   :1.547   Mean   :1.173  
#>  3rd Qu.:56.5   3rd Qu.:2.000   3rd Qu.:2.000   3rd Qu.:2.000  
#>  Max.   :75.0   Max.   :2.000   Max.   :2.000   Max.   :2.000  
#>        i4               i5               i6              i7      
#>  Min.   :0.0000   Min.   :0.0000   Min.   :0.000   Min.   :0.00  
#>  1st Qu.:0.0000   1st Qu.:0.0000   1st Qu.:1.000   1st Qu.:0.00  
#>  Median :1.0000   Median :0.0000   Median :1.000   Median :1.00  
#>  Mean   :0.6933   Mean   :0.4933   Mean   :1.213   Mean   :0.92  
#>  3rd Qu.:1.0000   3rd Qu.:1.0000   3rd Qu.:2.000   3rd Qu.:1.50  
#>  Max.   :2.0000   Max.   :2.0000   Max.   :2.000   Max.   :2.00  
#>        i8             i9             i10             i11             i12       
#>  Min.   :0.00   Min.   :0.000   Min.   :0.000   Min.   :0.000   Min.   :1.000  
#>  1st Qu.:0.00   1st Qu.:0.000   1st Qu.:2.000   1st Qu.:1.000   1st Qu.:2.000  
#>  Median :1.00   Median :1.000   Median :2.000   Median :2.000   Median :2.000  
#>  Mean   :0.72   Mean   :1.067   Mean   :1.733   Mean   :1.613   Mean   :1.827  
#>  3rd Qu.:1.00   3rd Qu.:2.000   3rd Qu.:2.000   3rd Qu.:2.000   3rd Qu.:2.000  
#>  Max.   :2.00   Max.   :2.000   Max.   :2.000   Max.   :2.000   Max.   :2.000  
#>       i13             i14             i15            i16             i17       
#>  Min.   :0.000   Min.   :0.000   Min.   :0.00   Min.   :0.000   Min.   :0.000  
#>  1st Qu.:2.000   1st Qu.:1.000   1st Qu.:1.00   1st Qu.:1.000   1st Qu.:1.000  
#>  Median :2.000   Median :1.000   Median :2.00   Median :1.000   Median :1.000  
#>  Mean   :1.693   Mean   :1.173   Mean   :1.48   Mean   :1.107   Mean   :1.267  
#>  3rd Qu.:2.000   3rd Qu.:2.000   3rd Qu.:2.00   3rd Qu.:2.000   3rd Qu.:2.000  
#>  Max.   :2.000   Max.   :2.000   Max.   :2.00   Max.   :2.000   Max.   :2.000  
#>       i18             i19            i20              i21       
#>  Min.   :0.000   Min.   :0.00   Min.   :0.0000   Min.   :0.000  
#>  1st Qu.:2.000   1st Qu.:2.00   1st Qu.:0.0000   1st Qu.:1.000  
#>  Median :2.000   Median :2.00   Median :1.0000   Median :2.000  
#>  Mean   :1.933   Mean   :1.88   Mean   :0.6667   Mean   :1.587  
#>  3rd Qu.:2.000   3rd Qu.:2.00   3rd Qu.:1.0000   3rd Qu.:2.000  
#>  Max.   :2.000   Max.   :2.00   Max.   :2.0000   Max.   :2.000  
#>       i22             i23            i24             i25       
#>  Min.   :0.000   Min.   :0.00   Min.   :0.000   Min.   :0.000  
#>  1st Qu.:1.000   1st Qu.:0.00   1st Qu.:1.000   1st Qu.:1.000  
#>  Median :1.000   Median :0.00   Median :2.000   Median :1.000  
#>  Mean   :1.293   Mean   :0.56   Mean   :1.427   Mean   :1.133  
#>  3rd Qu.:2.000   3rd Qu.:1.00   3rd Qu.:2.000   3rd Qu.:2.000  
#>  Max.   :2.000   Max.   :2.00   Max.   :2.000   Max.   :2.000

Elde edilen çıktıda bireylerin madde puanlarına ilişkin minimum, maksimum ve çeyreklik değerleri görülmektedir. Madde bazında minimum ve maksimum değerler incelendiğinde, 12. madde (i12) dışındaki maddelerde, tüm ölçek kategorilerinin yanıtlandığı görülmektedir. 12. maddede ise 0 kategorisini yanıtlayan birey bulunmamaktadır. DÖM’nin kullanılabilmesi için bu maddenin veriden çıkarılması gerekmektedir. Bunun için subset() fonksiyonu ve fonksiyonun select argümanı kullanılarak “i12” sütunu veriden çıkarılmıştır. Böylece fenilgi_maddeat_i12 nesnesi oluşturulmuştur.

fenilgi_maddeat_i12 <- subset (fenilgi, select = -i12)

Veri setinin ilk sütunu (“student” sütunu) öğrenci id numaralarını içermekte olup analizler gerçekleştirilmeden önce bu ilk sütun veri setinden ayrılmalıdır. Bunun için subset() fonksiyonu ve fonksiyonun select argümanı kullanılarak öğrenci id numaralarının kaydedildiği sütun veriden çıkarılmıştır. Böylece bireylerin madde yanıtlarını içeren fenilgi.yanitverisi nesnesi oluşturulmuştur. Oluşturulan nesnenin analize hazır olduğundan emin olmak için summary() fonksiyonuyla betimsel istatistikler elde edilmiştir.

fenilgi.yanitverisi <- subset(fenilgi_maddeat_i12, select = -student)
summary(fenilgi.yanitverisi)
#>        i1              i2              i3              i4        
#>  Min.   :0.000   Min.   :0.000   Min.   :0.000   Min.   :0.0000  
#>  1st Qu.:1.000   1st Qu.:1.000   1st Qu.:1.000   1st Qu.:0.0000  
#>  Median :1.000   Median :2.000   Median :1.000   Median :1.0000  
#>  Mean   :1.453   Mean   :1.547   Mean   :1.173   Mean   :0.6933  
#>  3rd Qu.:2.000   3rd Qu.:2.000   3rd Qu.:2.000   3rd Qu.:1.0000  
#>  Max.   :2.000   Max.   :2.000   Max.   :2.000   Max.   :2.0000  
#>        i5               i6              i7             i8             i9       
#>  Min.   :0.0000   Min.   :0.000   Min.   :0.00   Min.   :0.00   Min.   :0.000  
#>  1st Qu.:0.0000   1st Qu.:1.000   1st Qu.:0.00   1st Qu.:0.00   1st Qu.:0.000  
#>  Median :0.0000   Median :1.000   Median :1.00   Median :1.00   Median :1.000  
#>  Mean   :0.4933   Mean   :1.213   Mean   :0.92   Mean   :0.72   Mean   :1.067  
#>  3rd Qu.:1.0000   3rd Qu.:2.000   3rd Qu.:1.50   3rd Qu.:1.00   3rd Qu.:2.000  
#>  Max.   :2.0000   Max.   :2.000   Max.   :2.00   Max.   :2.00   Max.   :2.000  
#>       i10             i11             i13             i14             i15      
#>  Min.   :0.000   Min.   :0.000   Min.   :0.000   Min.   :0.000   Min.   :0.00  
#>  1st Qu.:2.000   1st Qu.:1.000   1st Qu.:2.000   1st Qu.:1.000   1st Qu.:1.00  
#>  Median :2.000   Median :2.000   Median :2.000   Median :1.000   Median :2.00  
#>  Mean   :1.733   Mean   :1.613   Mean   :1.693   Mean   :1.173   Mean   :1.48  
#>  3rd Qu.:2.000   3rd Qu.:2.000   3rd Qu.:2.000   3rd Qu.:2.000   3rd Qu.:2.00  
#>  Max.   :2.000   Max.   :2.000   Max.   :2.000   Max.   :2.000   Max.   :2.00  
#>       i16             i17             i18             i19      
#>  Min.   :0.000   Min.   :0.000   Min.   :0.000   Min.   :0.00  
#>  1st Qu.:1.000   1st Qu.:1.000   1st Qu.:2.000   1st Qu.:2.00  
#>  Median :1.000   Median :1.000   Median :2.000   Median :2.00  
#>  Mean   :1.107   Mean   :1.267   Mean   :1.933   Mean   :1.88  
#>  3rd Qu.:2.000   3rd Qu.:2.000   3rd Qu.:2.000   3rd Qu.:2.00  
#>  Max.   :2.000   Max.   :2.000   Max.   :2.000   Max.   :2.00  
#>       i20              i21             i22             i23      
#>  Min.   :0.0000   Min.   :0.000   Min.   :0.000   Min.   :0.00  
#>  1st Qu.:0.0000   1st Qu.:1.000   1st Qu.:1.000   1st Qu.:0.00  
#>  Median :1.0000   Median :2.000   Median :1.000   Median :0.00  
#>  Mean   :0.6667   Mean   :1.587   Mean   :1.293   Mean   :0.56  
#>  3rd Qu.:1.0000   3rd Qu.:2.000   3rd Qu.:2.000   3rd Qu.:1.00  
#>  Max.   :2.0000   Max.   :2.000   Max.   :2.000   Max.   :2.00  
#>       i24             i25       
#>  Min.   :0.000   Min.   :0.000  
#>  1st Qu.:1.000   1st Qu.:1.000  
#>  Median :2.000   Median :1.000  
#>  Mean   :1.427   Mean   :1.133  
#>  3rd Qu.:2.000   3rd Qu.:2.000  
#>  Max.   :2.000   Max.   :2.000

Elde edilen çıktı incelendiğinde, 24 maddelik yanıt verisinin DÖM analizine hazır olduğu görülmektedir. JMLE kestirim yöntemiyle DÖM analizi, ikili puanlama modelinde olduğu gibi tam.jml() fonksiyonuyla gerçekleştirilmiştir.

Öncelikle, k sayıda kategori için bir kategoriden diğerine geçisin güçlüğü olarak yorumlanan eşik parametre kestirim değerlerini kaydetmek üzere TAM paketinde matris oluşturma işlevini gören designMatrices() fonksiyonu kullanılmıştır. Fonksiyonda resp, modeltype ve constraint argümanları kullanılarak eşik parametre kestirimleri eşik.matris nesnesine kaydedilmiştir. Argümanlar içerisinde resp argümanı, yanıt verilerinin kaydedildiği veri çerçevesini ifade eder; modeltype argümanı, kullanılan Rasch modelini belirtir (bu analiz için RSM değeri girilmiştir).

esik.matris <- TAM::designMatrices(resp = fenilgi.yanitverisi, modeltype = "RSM", 
                                   constraint = "items")$A

Elde edilen eşik matrisi değerleriyle DÖM analizi gerçekleştirilmiştir. Kestirimle ilgili özel koşullar TAM paketinde yer alan tam.jml() fonksiyonuna argüman olarak eklenmiştir. Örneğin maksimum 500 iteasyonda parametre kestirimlerini elde etmek için maxiter argümanı eklenmiş ve argüman 500 değeriyle kullanılmıştır. Analize ilişkin özet bulgular için summary() fonksiyonu kullanılmıştır.

RSM.fenilgi_JMLE <- TAM::tam.jml(fenilgi.yanitverisi, A = esik.matris, 
                                 constraint = "items", 
                                 control = list(maxiter = 500), 
                                 version = 2, verbose = FALSE)

summary(RSM.fenilgi_JMLE)

Elde edilen çıktıda kestirimdeki iterasyon sayısı, log-likelihood uyum istatistikleri, parametre kestirimleri gibi değerler görüntülenmektedir. tam.jml() fonksiyonunun çalıştırılması sonucunda oluşturulan RSM.fenilgi_JMLE nesnesi, madde güçlük parametre kestirimleri, kategori eşik parametre kestirimlerini içermektedir. Madde ve kategorilerin kullanımıyla ilgili herhangi bir sorun bu değerlerden tespit edilebilir. RSM.fenilgi_JMLE nesnesi 37 bileşeni bulunan bir liste olup, aşağıdaki komut satırıyla listenin item adlı bileşenindeki “xsi.item” sütunu seçilerek madde parametre kestirim değerleri madde_JMLE adı verilen veri çerçevesine kaydedilmiştir.

RSM.fenilgi_JMLE$item
#>     item  N         M      xsi.item AXsi_.Cat1   AXsi_.Cat2 B.Cat1.Dim1
#> i1    i1 75 1.4533333 -0.4574934878 -1.2681805 -0.914986976           1
#> i2    i2 75 1.5466667 -0.7552041947 -1.5658912 -1.510408389           1
#> i3    i3 75 1.1733333  0.3170099599 -0.4936770  0.634019920           1
#> i4    i4 75 0.6933333  1.5859579282  0.7752710  3.171915856           1
#> i5    i5 75 0.4933333  2.2217139684  1.4110270  4.443427937           1
#> i6    i6 75 1.2133333  0.2124921916 -0.5981948  0.424984383           1
#> i7    i7 75 0.9200000  0.9689816136  0.1582946  1.937963227           1
#> i8    i8 75 0.7200000  1.5095479845  0.6988610  3.019095969           1
#> i9    i9 75 1.0666667  0.5913466249 -0.2193404  1.182693250           1
#> i10  i10 75 1.7333333 -1.4968099225 -2.3074969 -2.993619845           1
#> i11  i11 75 1.6133333 -0.9910288297 -1.8017158 -1.982057659           1
#> i13  i13 75 1.6933333 -1.3127959249 -2.1234829 -2.625591850           1
#> i14  i14 75 1.1733333  0.3170099599 -0.4936770  0.634019920           1
#> i15  i15 75 1.4800000 -0.5394778715 -1.3501648 -1.078955743           1
#> i16  i16 75 1.1066667  0.4886897578 -0.3219972  0.977379516           1
#> i17  i17 75 1.2666667  0.0710178953 -0.7396691  0.142035791           1
#> i18  i18 75 1.9333333 -3.0878980651 -3.8985850 -6.175796130           1
#> i19  i19 75 1.8800000 -2.4504761670 -3.2611631 -4.900952334           1
#> i20  i20 75 0.6666667  1.6640135967  0.8533266  3.328027193           1
#> i21  i21 75 1.5866667 -0.8938071367 -1.7044941 -1.787614273           1
#> i22  i22 75 1.2933333 -0.0008840094 -0.8115710 -0.001768019           1
#> i23  i23 75 0.5600000  1.9947495520  1.1840626  3.989499104           1
#> i24  i24 75 1.4266667 -0.3775422823 -1.1882293 -0.755084565           1
#> i25  i25 75 1.1333333  0.4208868590 -0.3898001  0.841773718           1
#>     B.Cat2.Dim1
#> i1            2
#> i2            2
#> i3            2
#> i4            2
#> i5            2
#> i6            2
#> i7            2
#> i8            2
#> i9            2
#> i10           2
#> i11           2
#> i13           2
#> i14           2
#> i15           2
#> i16           2
#> i17           2
#> i18           2
#> i19           2
#> i20           2
#> i21           2
#> i22           2
#> i23           2
#> i24           2
#> i25           2
madde_JMLE <- RSM.fenilgi_JMLE$item$xsi.item
RSM.fenilgi_JMLE$item1
#>    xsi.label xsi.index           xsi     se.xsi
#> 1         i1         1 -0.4574934878 0.13927663
#> 2         i2         2 -0.7552041947 0.14256938
#> 3         i3         3  0.3170099599 0.13420889
#> 4         i4         4  1.5859579282 0.13776306
#> 5         i5         5  2.2217139684 0.14419747
#> 6         i6         6  0.2124921916 0.13457283
#> 7         i7         7  0.9689816136 0.13425493
#> 8         i8         8  1.5095479845 0.13716421
#> 9         i9         9  0.5913466249 0.13374407
#> 10       i10        10 -1.4968099225 0.15303171
#> 11       i11        11 -0.9910288297 0.14560813
#> 12       i13        12 -1.3127959249 0.15022452
#> 13       i14        13  0.3170099599 0.13420889
#> 14       i15        14 -0.5394778715 0.14011662
#> 15       i16        15  0.4886897578 0.13383474
#> 16       i17        16  0.0710178953 0.13522854
#> 17       i18        17 -3.0878980651 0.17561557
#> 18       i19        18 -2.4504761670 0.16762246
#> 19       i20        19  1.6640135967 0.13841808
#> 20       i21        20 -0.8938071367 0.14431437
#> 21       i22        21 -0.0008840094 0.13563297
#> 22       i23        22  1.9947495520 0.14163552
#> 23       i24        23 -0.3775422823 0.13850953
#> 24      Cat1        24 -0.8106869777 0.05342681

Elde edilen çıktıda, madde parametre kestirimleri ve kestirimlerin standart hataları görüntülenmektedir. Madde parametre kestirimlerinin verildiği tablonun en alt satırında (“Cat1” satırında) kategori eşik parametre kestirimleri yer almaktadır. Buna göre ilk kategoriden sonraki kategoriye geçişin kestirilen eşik parametre değeri yaklaşık -0.811 lojittir. TAM paketinde, ilk kategori dışındaki eşik parametre kestirimleri hazır verilmemektedir. Sonraki kategorilere ilişkin eşik parametre kestirimleri bir dizi adım takip edilerek aritmetik fonksiyonlar yardımıyla hesaplanmaktadır.

Örnek veri setide her madde yanıtı üç kategoriden oluşmaktadır. Dolayısıyla 2 adet eşik parametre kestirim değeri olacaktır. -0.811 değeri kategori 0’dan kategori 1’e geçişin kestirimidir. Kategori 1’den kategori 2’ye geçişin eşik parametre kestirimi ise aşağıdaki gibi hesaplanır:

Öncelikle, en düşük kategorinin 0 ile gösterildiği varsayılır. Yukarıda elde edilen eşik parametre kestirimi, 0’dan 1’e geçişin güçlüğüdür. En düşük yanıt kategorisi 0 olmak kaydıyla, eşik parametre sayısı yanıt matrisinde gözlenen maksimum değer olarak belirlenir:

n.esikparametre <- max(fenilgi.yanitverisi)

Ardışık kategori eşik değerleri hesaplanır:

tau.kestirim_JMLE <- NULL

Kategori 1’den 2’ye geçişin eşik parametre kestirimleri hesaplanır:

for (tau in 1:(n.esikparametre-1)){
  tau.kestirim_JMLE[tau] <- 
    RSM.fenilgi_JMLE$item1$xsi[(ncol(fenilgi.yanitverisi)-1)+tau]
}

En yüksek kategori eşik parametre kestirimi hesaplanır:

tau.kestirim_JMLE[n.esikparametre] <- -(sum (tau.kestirim_JMLE))

ve hesaplanan eşik parametre kestirimleri konsola yazdırılır:

tau.kestirim_JMLE
#> [1] -0.810687  0.810687

Elde edilen iki eşik parametre kestirim değeri yukarıdaki gibidir. Eşik parametre kestirimlerinin monotonik artması, kategorilerin beklenen şekilde çalıştığını ve yanıtlayıcılar tarafından ayırt edilebildiğini gösteren kanıtlardan biridir. Kategorilerin beklenen şekilde çalışmasına dair bir diğer kanıt ise grafik aracılığıyla elde edilir. Ölçekte yer alan maddeler için kategori olasılık eğrilerinin (item response functions) raporlanması, ölçeğin kullanımının görsel olarak analizini sağlar. Beklenen şekilde çalışan (yani kategorileri ayırt edilebilen) ölçeklerde her bir ölçek kategorisinin belirgin ve ayrık bir tepe noktasına sahip olması beklenir. Bunun için plots() fonksiyonundan yararlanılmıştır.

kategoriolabilirlik.egrisi <- c(1:2)
plot(RSM.fenilgi_JMLE, type = "items", kategoriolabilirlik.egrisi)
#> ....................................................
#>  Plots exported in png format into folder:
#>  H:/My Drive/Psikomteri_kitap/Plots

Bu kod çalıştırılırken plyr paketinin kurulu olması gerekmektedir. Kodu çalıştırdıktan sonra elde edilen eğriler png, jpeg ve pdf gibi formatlarda çalışma dizinine kaydedilebilir ya da “Markdown”da grafik olarak görüntülenebilir.

Kategori olasılık eğrilerinde, her bir kategorinin ölçülen özellik düzlemi boyunca bir tepe noktası olmalıdır. Yani, her bir kategori özellik düzleminin belirli bir aralığında, olasılığı en yüksek olan kategori olmalıdır. İlk iki madde için bu durum sağlanmış, bireyler kategorileri beklenilen şekilde kullanmışlardır.

TAM paketindeki tam.fit() fonksiyonuyla madde ve birey yüzeylerine ilişkin uyum istatistikleri hesaplanabilir. Bu istatistiklerin yorumlanmasıyla madde ve birey düzeyinde beklendiği gibi çalışmayan varyans unsurları tespit edilebilir.

DÖM’ye ilişkin madde uyum istatistikleri aşağıdaki komut satırları çalıştırılarak elde edilmiştir. Fonksiyonun çıktıları JMLE_uyum nesnesine atanmıştır. JMLE_uyum nesnesinin fit.item bileşeninden madde uyum istatistikleri elde edilmiştir ve bu değerler madde.uyum_JMLE nesnesine atanmıştır. summary() fonksiyonu kullanılarak madde uyum istatistiklerine ilişkin sonuçlar özetlenmiştir.

JMLE_uyum <- TAM::tam.fit(RSM.fenilgi_JMLE)
madde.uyum_JMLE <- JMLE_uyum$fit.item
summary(madde.uyum_JMLE)
#>      item             outfitItem      outfitItem_t        infitItem     
#>  Length:24          Min.   :0.4685   Min.   :-2.43501   Min.   :0.5388  
#>  Class :character   1st Qu.:0.6304   1st Qu.:-1.20199   1st Qu.:0.7729  
#>  Mode  :character   Median :0.7463   Median :-0.73631   Median :0.8741  
#>                     Mean   :0.9979   Mean   : 0.01117   Mean   :1.0083  
#>                     3rd Qu.:0.9335   3rd Qu.: 0.08614   3rd Qu.:1.0976  
#>                     Max.   :3.3232   Max.   : 7.19795   Max.   :2.3572  
#>   infitItem_t     
#>  Min.   :-3.6978  
#>  1st Qu.:-1.5345  
#>  Median :-0.8157  
#>  Mean   :-0.3222  
#>  3rd Qu.: 0.6672  
#>  Max.   : 6.1617

Elde edilen çıktıda outfit ve infit istatistiklerine ilişkin en düşük ve en yüksek standart t değerleri görülmektedir. Tablodaki en yüksek t değerlerine bakıldığında hem outfit hem de infit uyum istatistiklerinde beklenen aralığın dışına çıkan değerler olduğu görülmektedir, veri setinde uyumsuzluk gösteren maddeler bulunduğu anlaşılmaktadır. tam.fit() fonksiyonu kullanılarak her bir maddeye ilişkin uyum istatistik değerlerini ayrı ayrı elde edip incelemek mümkündür.

TAM paketinde JMLE yöntemiyle birey parametrelerinin kestirimleri, madde parametre kestirimleriyle eş zamanlı hesaplanır. Birey parametre kestirimlerini ve kestirimlerin standart hatalarını bireyparametre.kestirim_JMLE adlı bir veri çerçevesi nesnesine kaydedebilmek, sütunlara anlamlı bir başlık (theta ve STD HATA) atayabilmek ve parametre kestirimlerinin özet değerlerini elde edebilmek için aşağıdaki kod kullanılmıştır.

bireyparametre.kestirim_JMLE <- cbind.data.frame(RSM.fenilgi_JMLE$theta, 
                                                 RSM.fenilgi_JMLE$errorWLE)
names(bireyparametre.kestirim_JMLE) <- c("theta", "STD HATA")
summary(bireyparametre.kestirim_JMLE)
#>      theta             STD HATA     
#>  Min.   :-1.66163   Min.   :0.3420  
#>  1st Qu.: 0.03455   1st Qu.:0.3435  
#>  Median : 0.62466   Median :0.3530  
#>  Mean   : 0.87738   Mean   :0.3940  
#>  3rd Qu.: 1.53961   3rd Qu.:0.3859  
#>  Max.   : 5.97167   Max.   :1.1795

Veri setinde yer alan 75 bireyin parametre kestiriminden elde edilen özet değerleri içeren “summary” tablosu yukarıdaki gibidir.

DÖM’ye ilişkin birey uyum istatistikleri aşağıdaki komut satırları çalıştırılarak elde edilmiştir. Fonksiyonun çıktıları JMLE_uyum nesnesine atanmıştır.JMLE_uyum nesnesinin fit.person bileşeninden birey uyum istatistikleri elde edilmiştir ve bu değerler birey.uyum_JMLE nesnesine atanmıştır. summary() fonksiyonu kullanılarak birey uyum istatistiklerine ilişkin sonuçlar özetlenmiştir.

JMLE_uyum <- TAM::tam.fit(RSM.fenilgi_JMLE)
birey.uyum_JMLE <- JMLE_uyum$fit.person
summary(birey.uyum_JMLE)
#>   outfitPerson     outfitPerson_t     infitPerson      infitPerson_t    
#>  Min.   :0.01164   Min.   :-3.1237   Min.   :0.02743   Min.   :-4.0104  
#>  1st Qu.:0.54991   1st Qu.:-1.0090   1st Qu.:0.67191   1st Qu.:-1.2205  
#>  Median :0.73012   Median :-0.3986   Median :0.89781   Median :-0.2832  
#>  Mean   :0.99788   Mean   : 0.0141   Mean   :0.96690   Mean   :-0.2184  
#>  3rd Qu.:1.15647   3rd Qu.: 0.6122   3rd Qu.:1.11210   3rd Qu.: 0.4551  
#>  Max.   :4.12918   Max.   : 5.3910   Max.   :3.07743   Max.   : 5.2383

Elde edilen çıktıda beklenen yanıt davranışının dışında yanıtlayan bireyler olduğu ancak ortalama uyum dışı ve ortalama uyum içi değerlerinin bu istatistik için beklenen değer olan 1.00’e çok yakın olduğu görülmektedir.

Son olarak, fenilgi.yanitverisi veri setindeki 24 madde, 2 kategori eşik ve 75 birey veparametresinin kestirimlerinin aynı lojit harita üzerinde grafiksel olarak gösterimini sağlayan, yani “Wright Map” üreten kod aşağıdaki gibidir.

n.items <- ncol(fenilgi.yanitverisi)
esikmatris_JMLE <- matrix(data = NA, nrow = n.items, ncol = n.esikparametre)
tau.kestirim_JMLE <- as.vector(as.numeric(tau.kestirim_JMLE))
for(i in 1:n.esikparametre){
  madde.esik <- madde_JMLE+tau.kestirim_JMLE[i]
  esikmatris_JMLE <- madde.esik
}
wrightMap(thetas = bireyparametre.kestirim_JMLE$theta,
          thresholds = esikmatris_JMLE,
          main.title = "Fen Ilgi Dereceleme Olcegi Modeli (JMLE)", 
          show.thr.lab = TRUE, 
          dim.names = "",
          label.items.rows = 2)
#>              [,1]
#>  [1,]  0.35319349
#>  [2,]  0.05548278
#>  [3,]  1.12769694
#>  [4,]  2.39664491
#>  [5,]  3.03240095
#>  [6,]  1.02317917
#>  [7,]  1.77966859
#>  [8,]  2.32023496
#>  [9,]  1.40203360
#> [10,] -0.68612294
#> [11,] -0.18034185
#> [12,] -0.50210895
#> [13,]  1.12769694
#> [14,]  0.27120911
#> [15,]  1.29937674
#> [16,]  0.88170487
#> [17,] -2.27721109
#> [18,] -1.63978919
#> [19,]  2.47470057
#> [20,] -0.08312016
#> [21,]  0.80980297
#> [22,]  2.80543653
#> [23,]  0.43314470
#> [24,]  1.23157384

Yukarıdaki görselde sağda Logits olarak etiketlenen kısımda; birey, madde ve eşik parametre kestirimlerinin karşılaştırılabilir olarak konumlandırıldığı, eşit aralıklı “lojit” ölçeği birimleri yer almaktadır. Solda Respondents olarak etiketlenen kısımda, sütunların yeri örtük değişken üzerinde birey parametre kestirimlerini, sütunların uzunlukları ise her bir kestirim değerine karşılık gelen birey sayısını göstermektedir. Yatay eksen maddeleri, geniş grafikte yer alan numaralandırılmş kareler ise eşik parametre kestirimlerini göstermektedir. 1 ile numaralandırılan kare ile 2 ile numaralandırılan kare arasındaki mesafenin her bir madde için eşit olması, sıralama ölçeği modelinde kestirilen eşik parametre değerlerinin tüm maddeler için aynı olmasından kaynaklanmaktadır.

6.5 Kısmi Puan Modeli (Partial Credit Model)

Kısmi Puan Modeli (KPM), DÖM gibi ikiden fazla yanıt kategorisine sahip veri türlerinde kullanılır. KPM’nin DÖM’den en önemli farkı, ölçme aracındaki her maddenin kendi ölçek yapısına sahip olabileceğinin modele dahil edilmesidir (Masters, 1982). Diğer bir ifadeyle bu modelin varsayımına göre her madde için kategorilerin anlamı özdeş olmak zorunda değildir, yani bir madde için kategori 2’yi seçmek ile farklı bir maddede kategori 2’yi seçmek, ölçülen özellik miktarı bakımından eşit değildir. Dolayısıyla her bir madde için ayrı bir eşik parametre kümesi kestirilir. Bu farklılık, matematiksel modele tek bir Fk eşik parametresi yerine eklenen Fik eşik parametresiyle Eşitlik (6.4)’teki gibi yansıtılır.

\[ \log\left(\frac{P_{nik}}{1-P_{ni(k-1)}}\right)=B_n-D_i-F_{ik} \tag{6.4} \]

Kısmi puan modeli, duyuşsal özelliklerin ölçüldüğü ölçme durumlarının yanı sıra, doğru ve kısmen doğru yanıtların puanlandığı, dereceli puanlanan başarı maddelerin bulunduğu testlerde veya her maddenin gerektirdiği bilişsel yükün farklı ve hiyerarşik olduğu başarı testlerinde de kullanılabilir (B. D. Wright ve Mok, 2004).

6.5.1 JMLE Kestirim Yöntemiyle Rasch Kısmi Puan Modeli Analizi

Aşağıdaki örnek analizde, DÖM analizinde olduğu gibi fenilgi.yanitverisi veri seti kullanılmıştır. KPM analizinde de DÖM analizinde olduğu gibi Rasch-Andrich eşik parametre kestirimlerini (ardışık kategori eşik değerlerini) kaydetmek üzere TAM paketindeki designMatrices() fonksiyonu kullanılmıştır ve eşik parametre kestirimleri eşik.matris_PCM nesnesine kaydedilmiştir. Fonksiyonun modeltype argümanı PCM değeriyle kullanılmıştır.

esik.matris_PCM <- TAM::designMatrices(resp = fenilgi.yanitverisi, 
                                       modeltype = "PCM", 
                                       constraint = "items")$A

Elde edilen eşik matrisi değerleriyle KPM analizi gerçekleştirilmiştir. TAM paketinde yer alan tam.jmle() fonksiyonuyla parametre kestirimi yapılarak fonksiyonun çıktısı PCM.fenilgi_JMLE nesnesine atanmıştır. Analize ilişkin özet bulgular için summary() fonksiyonu kullanılmıştır.

PCM.fenilgi_JMLE <- TAM::tam.jml(fenilgi.yanitverisi, A=esik.matris_PCM, 
                                 constraint = "items", 
                                 control = list(maxiter = 500), 
                                 version = 2, verbose = FALSE)
summary(PCM.fenilgi_JMLE)

Konsolda; kestirimdeki iterasyon geçmişi (iterasyon sayısı, kestirilen parametre sayısı, kestirim değerlerinin ortalama ve standart sapma değerleri) gibi bilgiler görülebilir. Ardından madde güçlük parametre kestirimleri ve her bir maddeye ilişkin eşik parametresi kestirimleri hesaplanabilir. Yorumlama pratikliği açısından, madde güçlük parametrelerinin 0 lojit değerine merkezlenmesi uygun olacaktır (centered). Bunun için öncelikle madde parametre güçlük değerleri, PCM.fenilgi_JMLE nesnesinin item bileşenindeki “xsi.item” sütunu seçilerek çekilmiştir ve madde_JMLE adı verilen veri çerçevesine kaydedilmiştir.

madde_JMLE <- PCM.fenilgi_JMLE$item$xsi.item

Çekilen madde güçlük değerleri merkezlenmemis.maddegucluk nesnesine atanıp, scale() fonksiyonuyla merkezlenmiştir. Ardından ortalaması 0 lojit birime sabitlenmiş madde güçlük değerleri summary() fonksiyonuyla özetlenmiştir:

merkezlenmemis.maddegucluk_JMLE <- madde_JMLE
merkezlenmemis.maddegucluk_JMLE <- scale(merkezlenmemis.maddegucluk_JMLE, 
                                         scale = FALSE)
summary(merkezlenmemis.maddegucluk_JMLE)
#>        V1          
#>  Min.   :-2.18654  
#>  1st Qu.:-0.83279  
#>  Median : 0.05293  
#>  Mean   : 0.00000  
#>  3rd Qu.: 0.61881  
#>  Max.   : 2.04111

Sıralama ölçeği kategori eşik kestirimlerinin hesaplanaması TAM paketinde birden çok adımlı ve manuel bir süreçtir. Takip edilecek adımlar aşağıda sıralanmıştır:

Öncelikle, max() fonksiyonuyla yanıt matrisinde gözlenen en büyük değer eşik parametre sayısı olarak tanımlanır. Bu işlemi yaparken en küçük kategori 0’dan başlamalıdır:

esikparametre.sayisi <- max(fenilgi.yanitverisi)

Eşik parametre kestirim değerleri maddelere ilişkin parametre kestirimlerinin bulunduğu tablodan çıkarılıp, esikkestirim_JMLE nesnesine atanır. Bu değerler madde tablosunun 5. sütununda yer aldığı için:

esikkestirim_JMLE <- PCM.fenilgi_JMLE$item[, c(5:(4+esikparametre.sayisi))]

Madde sayısı, yanıt verisi matrisindeki sütun sayısına eşit olduğu için:

madde.sayisi <- ncol(fenilgi.yanitverisi)

Her bir maddeye ilişkin spesifik eşik parametre kestirim değerlerinin kaydedileceği esik.matris_JMLE adlı matris, satır ve sütun sayıları belirtilerek tanımlanır:

esik.matris_JMLE <- matrix(data = NA, 
                           ncol = esikparametre.sayisi, 
                           nrow = madde.sayisi)

Son olarak eşik parametre kestirim değerleri hesaplanarak esik.matris_JMLE matrisine kaydedilir:

esikparametre.sayisi <- max(fenilgi.yanitverisi)
esikkestirim_JMLE <- PCM.fenilgi_JMLE$item[, c(5:(4+esikparametre.sayisi))]
madde.sayisi <- ncol(fenilgi.yanitverisi)
esik.matris_JMLE <- matrix(data=NA, ncol=esikparametre.sayisi, 
                           nrow=madde.sayisi) 
for(item.number in 1:madde.sayisi){
  for(tau in 1:esikparametre.sayisi){
    esik.matris_JMLE[madde.sayisi, tau] <- 
      ifelse(tau==1, 
             (esikkestirim_JMLE[item.number, tau]-merkezlenmemis.maddegucluk_JMLE[item.number]), 
             (esikkestirim_JMLE[item.number, tau]-sum(esikkestirim_JMLE[item.number,c((tau-1))])-merkezlenmemis.maddegucluk_JMLE[item.number]))
  }
}
esik.matris_JMLE
#>            [,1]     [,2]
#>  [1,]        NA       NA
#>  [2,]        NA       NA
#>  [3,]        NA       NA
#>  [4,]        NA       NA
#>  [5,]        NA       NA
#>  [6,]        NA       NA
#>  [7,]        NA       NA
#>  [8,]        NA       NA
#>  [9,]        NA       NA
#> [10,]        NA       NA
#> [11,]        NA       NA
#> [12,]        NA       NA
#> [13,]        NA       NA
#> [14,]        NA       NA
#> [15,]        NA       NA
#> [16,]        NA       NA
#> [17,]        NA       NA
#> [18,]        NA       NA
#> [19,]        NA       NA
#> [20,]        NA       NA
#> [21,]        NA       NA
#> [22,]        NA       NA
#> [23,]        NA       NA
#> [24,] -1.420829 0.118385

Madde tepki kategori fonksiyonlarını grafiksel olarak elde etmek için plots() fonksiyonu kullanılabilir. Örneğin aşağıda görülen, ilk üç maddenin madde tepki eğrileri (item response curves) için, fonksiyonun items argümanı c(1:3) değeriyle kullanılmıştır:

plot(PCM.fenilgi_JMLE, type = "items", items = c(1:3))
#> ....................................................
#>  Plots exported in png format into folder:
#>  H:/My Drive/Psikomteri_kitap/Plots

Farklı renklerle temsil edilen kategori olasılık eğrilerine bakıldığında, her üç madde için de kategori 1, 2 ve 3’ün (Cat1, Cat2, Cat3) ölçülen özellik düzlemi boyunca bir aralıkta en olası kategori olduğu görülmektedir. Kategori olasılık eğrileri yorumlanırken her bir kategori, bir aralıkta en olası kategori olmalı yani bağımsız bir tepe noktasına sahip olmalıdır. Görselle bunun sağlandığı desteklenmiştir.

Madde uyum istatistiklerini hesaplamak için TAM paketinde yer alan itemfit() fonksiyonu kullanılmıştır. Aşağıdaki kodla madde.uyum_JMLE adlı bir nesne tanımlanıp madde uyum istatistik değerlerine ilişkin sonuçlar özetlenmiştir.

JMLE_uyum <- TAM::tam.fit(PCM.fenilgi_JMLE)
madde.uyum_JMLE <- JMLE_uyum$fit.item
summary(madde.uyum_JMLE)
#>      item             outfitItem      outfitItem_t       infitItem     
#>  Length:24          Min.   :0.5316   Min.   :-2.1508   Min.   :0.6345  
#>  Class :character   1st Qu.:0.5927   1st Qu.:-1.2017   1st Qu.:0.7322  
#>  Mode  :character   Median :0.7308   Median :-0.8988   Median :0.8362  
#>                     Mean   :1.0194   Mean   : 0.0224   Mean   :0.9802  
#>                     3rd Qu.:0.9779   3rd Qu.: 0.1632   3rd Qu.:1.0658  
#>                     Max.   :3.6585   Max.   : 6.7060   Max.   :2.3273  
#>   infitItem_t     
#>  Min.   :-2.8480  
#>  1st Qu.:-1.7946  
#>  Median :-1.0366  
#>  Mean   :-0.4030  
#>  3rd Qu.: 0.3637  
#>  Max.   : 5.7342

tam.fit() fonksiyonuyla her bir madde parametre kestirimi için MSE ve t-standardize edilmiş uyum dışı ve uyum içi değerleri hesaplanmıştır.

Birey yetenek kestirimleri ve bu kestirimlere ilişkin standart hatalar hesaplanıp birey.kestirim_JMLE adlı bir veri çerçevesi nesnesine kaydedilmiştir.

birey.kestirim_JMLE <- cbind.data.frame(PCM.fenilgi_JMLE$theta, 
                                        PCM.fenilgi_JMLE$errorWLE)
names(birey.kestirim_JMLE) <- c("theta", "StdHata")
summary(birey.kestirim_JMLE)
#>      theta            StdHata      
#>  Min.   :-2.3326   Min.   :0.3401  
#>  1st Qu.:-0.7309   1st Qu.:0.3439  
#>  Median :-0.1345   Median :0.3543  
#>  Mean   : 0.1321   Mean   :0.3943  
#>  3rd Qu.: 0.8064   3rd Qu.:0.3863  
#>  Max.   : 5.2433   Max.   :1.1781

summary() fonksiyonuyla elde edilen özet çıktıda, birey yetenek kestirimlerine ve standart hatalarına dair betimsel değerler yer almaktadır. Yorumlama pratikliği için madde parametre kestirimleri 0 lojit birime merkezlenmiştir. Ancak, merkezlenmiş madde güçlük değerleri ile birey parametre kestirimlerini doğrudan karşılaştırabilmek için birey parametre kestirimlerinden merkezlenmemiş madde güçlük değerinin aşağıdaki gibi çıkarılması gerekmektedir.

birey.kestirim_JMLE$theta_adjusted <- 
  birey.kestirim_JMLE$theta-mean(merkezlenmemis.maddegucluk_JMLE)
summary(birey.kestirim_JMLE)
#>      theta            StdHata       theta_adjusted   
#>  Min.   :-2.3326   Min.   :0.3401   Min.   :-2.3326  
#>  1st Qu.:-0.7309   1st Qu.:0.3439   1st Qu.:-0.7309  
#>  Median :-0.1345   Median :0.3543   Median :-0.1345  
#>  Mean   : 0.1321   Mean   :0.3943   Mean   : 0.1321  
#>  3rd Qu.: 0.8064   3rd Qu.:0.3863   3rd Qu.: 0.8064  
#>  Max.   : 5.2433   Max.   :1.1781   Max.   : 5.2433

Yukarıdaki kod çalıştırıldığında, merkezlenmiş madde güçlük değerleriyle doğrudan karşılaştırılabilen “theta_adjusted” değerlerinin ortalaması ve standart sapması elde edilmektedir.

Birey parametre kestirimlerine ilişkin uyum istatistikleri tam.fit() fonksiyonuyla elde edilebilir. tamfit() fonksiyonuyla her bir birey yetenek kestirimine ilişkin standart (t) uyum dışı ve uyum içi değerleri ve ortalama kare hata değerleri hesaplanır.

JMLE_uyum <- TAM::tam.fit(PCM.fenilgi_JMLE)
birey.uyum_JMLE <- JMLE_uyum$fit.person
summary(birey.uyum_JMLE)
#>   outfitPerson    outfitPerson_t     infitPerson      infitPerson_t    
#>  Min.   :0.0120   Min.   :-2.8285   Min.   :0.02698   Min.   :-3.9209  
#>  1st Qu.:0.5528   1st Qu.:-0.8486   1st Qu.:0.68517   1st Qu.:-1.1535  
#>  Median :0.7151   Median :-0.2848   Median :0.86803   Median :-0.2671  
#>  Mean   :1.0194   Mean   : 0.1292   Mean   :0.96781   Mean   :-0.2099  
#>  3rd Qu.:1.1693   3rd Qu.: 0.6035   3rd Qu.:1.11604   3rd Qu.: 0.4714  
#>  Max.   :4.2694   Max.   : 4.6490   Max.   :3.20729   Max.   : 5.1669

Madde ve birey parametre kestirimlerinin grafiksel olarak dağılımını elde etmek için IRT.Wrightmap() fonksiyonu kullanılabilir. Wright map’in görsel anlaşılabilirliği için 0 lojit birime merkezlenen değerlerin kullanımı tercih edilebilir.

esikmatris_JMLE <- matrix(0, nrow = madde.sayisi, ncol = esikparametre.sayisi)
if (length(merkezlenmemis.maddegucluk_JMLE) != madde.sayisi) {
  stop("merkezlenmemis.maddegucluk_JMLE length does not match madde.sayisi")
}
for (item.number in 1:madde.sayisi) {
  for (tau in 1:esikparametre.sayisi) {
    esikmatris_JMLE[item.number, tau] <- 
      merkezlenmemis.maddegucluk_JMLE[item.number]+
      esikmatris_JMLE[item.number, tau]
  }
}
bireykestirim_JMLE <- birey.kestirim_JMLE$theta_adjusted
wrightMap(
  thetas = bireykestirim_JMLE,
  thresholds = esikmatris_JMLE,
  main.title = "Fen Ilgi Kismi Kredi Modeli (JMLE)", 
  show.thr.lab = TRUE, 
  dim.names = "",
  label.items.rows = 2
)
#>               [,1]         [,2]
#>  [1,] -0.896503100 -0.896503100
#>  [2,] -0.627850278 -0.627850278
#>  [3,]  0.218941196  0.218941196
#>  [4,]  1.671269168  1.671269168
#>  [5,]  2.041108932  2.041108932
#>  [6,]  0.109241565  0.109241565
#>  [7,]  0.901063420  0.901063420
#>  [8,]  1.518224340  1.518224340
#>  [9,]  0.524722747  0.524722747
#> [10,] -1.539709630 -1.539709630
#> [11,] -1.353501263 -1.353501263
#> [12,] -0.898296401 -0.898296401
#> [13,]  0.233151058  0.233151058
#> [14,] -0.578935054 -0.578935054
#> [15,]  0.399920546  0.399920546
#> [16,] -0.003386414 -0.003386414
#> [17,] -2.186541306 -2.186541306
#> [18,] -2.098648261 -2.098648261
#> [19,]  1.619274901  1.619274901
#> [20,] -0.811558969 -0.811558969
#> [21,] -0.055528488 -0.055528488
#> [22,]  1.810361402  1.810361402
#> [23,] -0.351823735 -0.351823735
#> [24,]  0.355003622  0.355003622

Wright map genellikle analizin başlarında, ölçeğin fonksiyonelliği ve bireylerin yanıtlama davranışı hakkında hızlı bir fikir edinmek için faydalıdır. Solda “respondents” olarak etiketlenmiş kısım, örtük değişken üzerine birey parametre kestirimlerini gösterir. “Logits” olarak etiketlenen sağ panel, birey, madde ve eşik parametre kestirimlerinin karşılaştırılabilir olarak konumlandırıldığı lojit ölçeğinin birimlerini göstermektedir. Yatay eksen maddeleri, geniş penceredeki, “AXsi_Cat1” ve “AXsi_Cat2” ile adlandırılmış gri kareler ise yatayda denk gelen maddenin eşik parametre kestirimlerini gösterir. “AXsi_Cat1” ile numaralandırılan kare, o madde için kategori 0’dan kategori 1’e geçişin güçlüğü, aynı doğru üzerinde üstte yer alan ve “AXsi_Cat2” ile numaralandırılan kare ise yine o madde için kategori 1’den 2’ye geçişin güçlüğüdür. Genel olarak bakıldığında, kategori eşik değerlerin beklenen şekilde sıralanmış ve ölçülen özellik bakımından bireylerin eşik değerlerden üstte yer alma eğiliminde olduğunu, kullanılan ölçme aracının geniş bir ranja yayılmış eşik değerler ile ölçülen özellik bakımından farklı düzeylerden bireyleri ayırabildiği sonucunu çıkarabiliriz. Yukarıda da belirtildiği üzere, Wright map özellikle madde güçlüğü ve birey yetenek uyumu (targeting) bakımından görsel ve hızlı bir çıkarım yapmak için faydalı bir çıktı sunar.

Bölüm atıf bilgisi: Aksu-Dünya, B. (2025). Rasch modeli. N. Güler, B. Atar & K. Atalay-Kabasakal (Ed.), R ile psikometri içinde. Pegem Akademi.

Kaynaklar

Adams, R. J., Wilson, M. ve Wang, W. (1997). The multidimensional random coefficients multinomial logit model. Applied psychological measurement, 21(1), 1-23.

Andrich, D. (1978). Application of a psychometric rating model to ordered categories which are scored with successive integers. Applied psychological measurement, 2(4), 581-594.

Birnbaum, A. (1969). Statistical theory for logistic mental test models with a prior distribution of ability. Journal of Mathematical Psychology, 6(2), 258-276.

Embretson, S. E. ve Reise, S. P. (2000). Item response theory. London, UK: Erlbaum Publishers.

Hambleton, R. K. (1991). Fundamentals of item response theory. Sage.

Irribarra, D. T., Freund, R. ve Irribarra, M. D. T. (2024). Package “WrightMap”.

Linacre, J. M. ve diğerleri. (2002). Optimizing rating scale category effectiveness. Journal of applied measurement, 3(1), 85-106.

Linacre, J. M. (2006). Data variance explained by Rasch measures. Rasch Measurement Transactions, 20(1), 1045.

Mair, P., Hatzinger, R., Maier, M. J., Rusch, T. ve Mair, M. P. (2016). Package “eRm”. Vienna, Austria: R Foundation.

Masters, G. N. (1982). A Rasch model for partial credit scoring. Psychometrika, 47(2), 149-174.

Rasch, G. (1960). Studies in mathematical psychology: I. Probabilistic models for some intelligence and attainment tests.

Rasch, G. (1977). On specific objectivity an attempt at formalizing the request for generality and validity of scientific statements. Danish yearbook of philosophy, 14(1), 58-94.

Robitzsch, A., Kiefer, T. ve Wu, M. (2021). TAM: Test analysis modules (R package version 3.7–16)[Computer software].

Wright, B. D. (1982). Rating scale analysis. Measurement, Evaluation, Statistics, and Assessment Press.

Wright, B. D. ve Mok, M. M. (2004). An overview of the family of Rasch measurement models. Introduction to Rasch measurement, 1(1), 1-24.

Wright, B. ve Panchapakesan, N. (1969). A procedure for sample-free item analysis. Educational and Psychological measurement, 29(1), 23-48.